Fortschritt Block 1/10
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Zahlen & Terme

Grundlagen für alle weiteren Kapitel

📖 Die Reihenfolge

1️⃣ Klammern → 2️⃣ Potenzen/Wurzeln → 3️⃣ Punkt (·,:) → 4️⃣ Strich (+,-)

💡 Tipp: Bei 3 + 4 · 2 zuerst 4·2=8, dann 3+8=11
Aufgabe 1.1.1Leicht
Berechne: 7 + 3 · 5
Punkt vor Strich: 3·5 = 15
7 + 15 = 22
✅ 22
Aufgabe 1.1.2Leicht
Berechne: 20 - 4 · 3 + 2
4·3=12 → 20-12+2 = 10
✅ 10
Aufgabe 1.1.3Leicht
Berechne: 6 + 18 : 3
18:3=6 → 6+6=12
✅ 12
Aufgabe 1.1.4Mittel
Berechne: (5 + 3) · 2 - 4 · 2
Klammer: 8, Punkt: 8·2=16, 4·2=8, Strich: 16-8=8
✅ 8
Aufgabe 1.1.5Mittel
Berechne: (12 - 4) · 3 + 2²
Klammer: 8, Potenz: 4, Punkt: 24, Strich: 28
✅ 28
Aufgabe 1.1.6Mittel
Berechne: 3·(7-2) + 4·(3+1)
3·5=15, 4·4=16 → 15+16=31
✅ 31
Aufgabe 1.1.7Schwer
Berechne: 2·(3 + 2·4) - (15 - 3·2)
Innere: 2·4=8→3+8=11 | 3·2=6→15-6=9
2·11-9 = 22-9 = 13
✅ 13
Aufgabe 1.1.8Schwer
Berechne: 4·(2 + 3²) - (20 - 2·6)
3²=9→2+9=11 | 2·6=12→20-12=8
4·11-8 = 44-8 = 36
✅ 36
Aufgabe 1.1.9Schwer
Berechne: [(8+4)·3 - 6] : 3
8+4=12, 12·3=36, 36-6=30, 30:3=10
✅ 10

📖 Potenzgesetze

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ
💡 Merke: √16 = 4, weil 4² = 16
Aufgabe 1.2.1Leicht
Berechne: 3² + 4²
9 + 16 = 25
✅ 25
Aufgabe 1.2.2Leicht
Berechne: √49 + √16
7 + 4 = 11
✅ 11
Aufgabe 1.2.3Leicht
Berechne: 2⁴
2·2·2·2 = 16
✅ 16
Aufgabe 1.2.4Mittel
Berechne: √(25 + 144)
25+144=169 → √169=13
✅ 13
Aufgabe 1.2.5Mittel
Vereinfache: 3⁴ : 3²
Exponenten subtrahieren: 3² = 9
✅ 9
Aufgabe 1.2.6Mittel
Berechne: 2⁴ · 2³
2⁷ = 128
✅ 128
Aufgabe 1.2.7Schwer
Vereinfache: (2³)² · 2⁵
(2³)²=2⁶ → 2⁶·2⁵=2¹¹=2048
✅ 2¹¹ = 2048
Aufgabe 1.2.8Schwer
Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √50?
7²=49, 8²=64 → 49 < 50 < 64
✅ Zwischen 7 und 8
Aufgabe 1.2.9Schwer
Vereinfache: (5²)³ : 5⁴
5⁶:5⁴ = 5² = 25
✅ 25

📖 Binomische Formeln

(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b)(a-b) = a²-b²
⚠️ Achtung: -2·(x-3) = -2x + 6 (Minus mal Minus!)
Aufgabe 1.3.1Leicht
Vereinfache: 5x + 3x - 2x
(5+3-2)x = 6x
✅ 6x
Aufgabe 1.3.2Leicht
Vereinfache: 4x + 3y + 2x - y
6x + 2y
✅ 6x + 2y
Aufgabe 1.3.3Leicht
Vereinfache: 8a - 5a + a
(8-5+1)a = 4a
✅ 4a
Aufgabe 1.3.4Mittel
Vereinfache: 3·(2x+4) - 2·(x-3)
6x+12-2x+6 = 4x+18
✅ 4x + 18
Aufgabe 1.3.5Mittel
Vereinfache: 4·(3x-2) + 5x
12x-8+5x = 17x-8
✅ 17x - 8
Aufgabe 1.3.6Mittel
Vereinfache: 5·(a+2b) - 3·(2a-b)
5a+10b-6a+3b = -a+13b
✅ -a + 13b
Aufgabe 1.3.7Schwer
Vereinfache: (2a+3b)² - (2a-3b)²
(4a²+12ab+9b²)-(4a²-12ab+9b²) = 24ab
✅ 24ab
Aufgabe 1.3.8Schwer
Vereinfache: (3x+2)(x-4)
3x²-12x+2x-8 = 3x²-10x-8
✅ 3x²-10x-8
Aufgabe 1.3.9Schwer
Vereinfache: (x+5)² - (x-5)²
Formel: (a+b)²-(a-b)² = 4ab
= 4·x·5 = 20x
✅ 20x

📖 Auf der Zahlengeraden

Links kleiner, rechts größer. Negative Zahlen sind kleiner als positive.

💡 Tipp: Brüche als Dezimalzahlen vergleichen: 1/3 ≈ 0,333
Aufgabe 1.4.1Leicht
Ordne (kleinste zuerst): -3, 2, 0, -1
✅ -3 < -1 < 0 < 2
Aufgabe 1.4.2Leicht
Ordne: 5, -2, 7, -4, 0
✅ -4 < -2 < 0 < 5 < 7
Aufgabe 1.4.3Mittel
Ordne: 0,5 ; 1/3 ; 2/5 ; 0,4
1/3 ≈ 0,333 | 2/5=0,4
✅ 1/3 < 0,4=2/5 < 0,5
Aufgabe 1.4.4Mittel
Ordne: 3/4 ; 0,7 ; 5/8 ; 0,8
3/4=0,75 | 5/8=0,625
✅ 5/8 < 0,7 < 3/4 < 0,8
Aufgabe 1.4.5Schwer
Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √50?
7²=49, 8²=64
✅ Zwischen 7 und 8
Aufgabe 1.4.6Schwer
Ordne: √10, π, 3,2, 10/3
√10 ≈ 3,162 | π≈ 3,142 | 10/3 ≈ 3,333
✅ π < √10 < 3,2 < 10/3
⚖️

Lineare Gleichungen & Gleichungssysteme

x finden, das Rätsel lösen!

📖 So löst du nach x auf

ax + b = c
1. Umformen
2. x isolieren
3. Probe machen!
💡 Was du auf einer Seite machst, musst du auf der anderen auch machen!
Aufgabe 2.1.1Leicht
Löse: 2x + 4 = 10
2x=6 → x=3
✅ x = 3
Aufgabe 2.1.2Leicht
Löse: 5x - 10 = 15
5x=25 → x=5
✅ x = 5
Aufgabe 2.1.3Leicht
Löse: 3x + 7 = 22
3x=15 → x=5
✅ x = 5
Aufgabe 2.1.4Mittel
Löse: 3·(x-2) = 2·(x+1)
3x-6=2x+2 → x=8
✅ x = 8
Aufgabe 2.1.5Mittel
Löse: 4·(x+3) = 3·(x+5)
4x+12=3x+15 → x=3
✅ x = 3
Aufgabe 2.1.6Mittel
Löse: 7x - 3 = 4x + 9
3x=12 → x=4
✅ x = 4
Aufgabe 2.1.7Schwer
Löse: (2x+1):3 = (x-2):2
2(2x+1)=3(x-2) → 4x+2=3x-6 → x=-8
✅ x = -8
Aufgabe 2.1.8Schwer
Löse: (3x-1)/4 = (2x+5)/3
9x-3=8x+20 → x=23
✅ x = 23

📖 Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte

Einsetzverfahren: x aus I in II einsetzen
Additionsverfahren: Gleichungen addieren/subtrahieren
Aufgabe 2.2.1Leicht
Löse: x+y=5, x-y=1
Addition: 2x=6 → x=3, y=2
✅ x=3, y=2
Aufgabe 2.2.2Leicht
Löse: x+y=8, x-y=2
2x=10 → x=5, y=3
✅ x=5, y=3
Aufgabe 2.2.3Mittel
Löse: 2x+3y=13, x-y=1
Aus II: x=y+1 → 2(y+1)+3y=13 → 5y=11 → y=2,2, x=3,2
✅ x=3,2 ; y=2,2
Aufgabe 2.2.4Mittel
Löse: 3x+y=11, x+2y=7
x=7-2y → 3(7-2y)+y=11 → y=2, x=3
✅ x=3, y=2
Aufgabe 2.2.5Schwer
Löse: 3x+2y=16, 5x-3y=5
I·3: 9x+6y=48 | II·2: 10x-6y=10 | Add: 19x=58 → x≈3,05, y≈3,42
✅ x≈3,05 ; y≈3,42
Aufgabe 2.2.6Schwer
Löse: 2x+5y=19, 3x-2y=0
x=2y/3 → 4y/3+5y=19 → y=3, x=2
✅ x=2, y=3

📖 Text in Gleichung übersetzen

"Mehr als" → + | "Weniger als" → - | "Doppelt" → ·2 | "Zusammen" → Summe

💡 Nicht vergessen: Antwortsatz schreiben!
Aufgabe 2.3.1Leicht
Anna ist 3 Jahre älter als Ben. Zusammen 25. Alter Anna?
b+(b+3)=25 → b=11
✅ Anna = 14 Jahre
Aufgabe 2.3.2Leicht
Tom: doppelt so viele Äpfel wie Lisa. Zusammen 18. Tom?
3x=18 → x=6 → Tom=12
✅ 12 Äpfel
Aufgabe 2.3.3Mittel
Rechteck: doppelt so lang wie breit. Umfang 36. Seiten?
Breite=b, Länge=2b, U=6b=36 → b=6, l=12
✅ Breite 6cm, Länge 12cm
Aufgabe 2.3.4Mittel
Vater 30 Jahre älter als Sohn. In 5 Jahren doppelt so alt. Alter Sohn?
s+35=2(s+5) → s=25
✅ 25 Jahre
Aufgabe 2.3.5Schwer
3 Kugelschreiber + 2 Bleistifte = 8,50 €. 2 Kugelschreiber + 4 Bleistifte = 9 €. Preis Kugelschreiber?
I·2: 6k+4b=17 | -II: 4k=8 → k=2
✅ 2,00 €
Aufgabe 2.3.6Schwer
Drei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, Summe 75. Welche?
x+(x+2)+(x+4)=75 → 3x=69 → x=23
✅ 23, 25, 27
📈

Lineare Funktionen

Geraden im Koordinatensystem

📖 f(x) = y

Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet.

f(3) bedeutet: Setze x=3 ein
Aufgabe 3.1.1Leicht
f(x)=2x+1. Berechne f(3)
2·3+1=7
✅ 7
Aufgabe 3.1.2Leicht
f(x)=3x-2. Berechne f(4)
12-2=10
✅ 10
Aufgabe 3.1.3Mittel
Wertetabelle: f(x)=-x+2, x=-2,-1,0,1,2
f(-2)=4, f(-1)=3, f(0)=2, f(1)=1, f(2)=0
✅ Fertig!
Aufgabe 3.1.4Schwer
Liegt P(4|11) auf f(x)=3x-1?
f(4)=11 ✓
✅ Ja!
Aufgabe 3.1.5Schwer
Liegt P(3|5) auf f(x)=2x+1?
f(3)=7≠5
✅ Nein!

📖 y = mx + b

m = Steigung (wie steil?)
b = y-Achsenabschnitt (wo schneidet sie die Y-Achse?)
💡 m aus zwei Punkten: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
Aufgabe 3.2.1Leicht
m und b von y=3x-2?
✅ m=3, b=-2
Aufgabe 3.2.2Leicht
m und b von y=-4x+7?
✅ m=-4, b=7
Aufgabe 3.2.3Mittel
Gerade durch A(1|3) und B(3|7). Gleichung?
m=(7-3)/(3-1)=2, b: 3=2·1+b→b=1
✅ y=2x+1
Aufgabe 3.2.4Mittel
Gerade durch A(0|5) und B(4|1). Gleichung?
m=-4/4=-1, b=5
✅ y=-x+5
Aufgabe 3.2.5Schwer
m=3, durch P(2|5). Wo schneidet sie die x-Achse?
b=-1 → y=3x-1 → Nullst. x=1/3
✅ x=1/3
Aufgabe 3.2.6Schwer
m wenn Gerade durch P(2|5) und Q(5|14)?
m=9/3=3
✅ m=3

📖 Zeichenanleitung

1. Startpunkt bei b auf Y-Achse
2. Mit Steigung m weiter (1 rechts, m hoch)
3. Punkte verbinden

Aufgabe 3.3.1Leicht
Wie zeichnet man y=2x+1?
Start (0|1), dann 1→,2↑ zu (1|3)
✅ Verbinden!
Aufgabe 3.3.2Mittel
Wo schneidet y=-0,5x+2 die x-Achse?
0=-0,5x+2 → x=4
✅ Bei (4|0)
Aufgabe 3.3.3Schwer
Schnittpunkt von f(x)=2x+1 und g(x)=-x+7?
2x+1=-x+7 → x=2, y=5
✅ S(2|5)
Aufgabe 3.3.4Schwer
Zwei Geraden bei S(2|4). m₁=2, m₂=-1. Gleichungen?
g₁: y=2x | g₂: y=-x+6
✅ y=2x und y=-x+6
✖️

Quadratische Gleichungen

x² lösen mit der pq-Formel

📖 x² + px + q = 0

⚠️ Faktor vor x² muss 1 sein! Sonst durch diesen Faktor teilen.
Aufgabe 4.1.1Leicht
Normalform: 2x²+6x+4=0
÷2: x²+3x+2=0
✅ p=3, q=2
Aufgabe 4.1.2Leicht
Normalform: 4x²-8x+4=0
÷4: x²-2x+1=0
✅ p=-2, q=1
Aufgabe 4.1.3Mittel
Normalform: 3x²-9x=6
3x²-9x-6=0 →÷3: x²-3x-2=0
✅ p=-3, q=-2
Aufgabe 4.1.4Schwer
Normalform: (x+1)(x-2)=4
x²-x-2=4 → x²-x-6=0
✅ p=-1, q=-6

📖 Die Lösungsformel

x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
💡 Niemals vergessen: ± gibt zwei Lösungen!
Aufgabe 4.2.1Leicht
x²-6x+5=0
x=3±√(9-5)=3±2
✅ x₁=5, x₂=1
Aufgabe 4.2.2Leicht
x²-25=0
x²=25 → x= ±5
✅ x₁=5, x₂=-5
Aufgabe 4.2.3Mittel
x²+4x-5=0
x=-2±√(4+5)=-2±3
✅ x₁=1, x₂=-5
Aufgabe 4.2.4Mittel
x²-8x+15=0
x=4±√(16-15)=4±1
✅ x₁=5, x₂=3
Aufgabe 4.2.5Schwer
2x²-8x+6=0
÷2: x²-4x+3=0 → x=2±1
✅ x₁=3, x₂=1
Aufgabe 4.2.6Schwer
(x+1)(x-2)=4
x²-x-6=0 → x=0,5±2,5
✅ x₁=3, x₂=-2

📖 D = (p/2)² - q

D > 0: 2 Lösungen | D = 0: 1 Lösung | D < 0: keine Lösung

Aufgabe 4.3.1Leicht
x²-4x+3=0. Anzahl Lösungen?
D=4-3=1>0
✅ 2 Lösungen
Aufgabe 4.3.2Leicht
x²-6x+9=0. Anzahl?
D=9-9=0
✅ 1 Lösung
Aufgabe 4.3.3Mittel
x²+2x+5=0. Anzahl?
D=1-5=-4<0
✅ Keine Lösung
Aufgabe 4.3.4Mittel
Welches c → genau 1 Lsg bei x²+2x+c=0?
D=1-c=0
✅ c=1
Aufgabe 4.3.5Schwer
Welche k → keine Lsg bei kx²-4x+4=0?
D=16-16k<0 → k>1
✅ k>1
Aufgabe 4.3.6Schwer
Welches c → 1 Lsg bei x²-6x+c=0?
D=9-c=0
✅ c=9
🎯

Quadratische Funktionen (Parabeln)

Scheitelpunkt, Nullstellen, Öffnung

📖 Scheitelpunkt ablesen

y = a(x-d)² + e
→ Scheitelpunkt S(d|e)
⚠️ Achtung: Bei (x+4)² ist d = -4!
Aufgabe 5.1.1Leicht
S von y=(x-2)²+3?
✅ S(2|3)
Aufgabe 5.1.2Leicht
S von y=(x+4)²-5?
✅ S(-4|-5)
Aufgabe 5.1.3Mittel
Scheitelpunktform: y=x²-6x+5
(x-3)²-4
✅ S(3|-4)
Aufgabe 5.1.4Mittel
Scheitelpunktform: y=x²+4x+1
(x+2)²-3
✅ S(-2|-3)
Aufgabe 5.1.5Schwer
Scheitelpunktform: y=2x²-8x+6
2(x-2)²-2
✅ S(2|-2)

📖 Wo schneidet die Parabel die x-Achse?

Setze y=0 und löse mit pq-Formel oder Ausklammern.

💡 Sonderfall: x²-9=0 → x=±3 ( direkt!)
Aufgabe 5.2.1Leicht
y=x²-9
x²=9
✅ x= ±3
Aufgabe 5.2.2Leicht
y=x²-16
x²=16
✅ x= ±4
Aufgabe 5.2.3Mittel
y=x²-5x+6
x=2,5±0,5
✅ x₁=3, x₂=2
Aufgabe 5.2.4Mittel
y=-x²+4x
x(-x+4)=0
✅ x₁=0, x₂=4
Aufgabe 5.2.5Schwer
S(2|-1), durch P(0|3). Nullstellen?
a=1, y=(x-2)²-1 → x=1 oder 3
✅ x₁=1, x₂=3
Aufgabe 5.2.6Schwer
y=-x²+6x-5. Nullstellen?
x²-6x+5=0 → x=3±2
✅ x₁=5, x₂=1

📖 Öffnung der Parabel

a > 0: öffnet nach oben ∪ (Minimum)
a < 0: öffnet nach unten ∩ (Maximum)

Aufgabe 5.3.1Leicht
y=-x²+4x. Max oder Min?
a=-1<0
✅ Maximum
Aufgabe 5.3.2Leicht
y=2x²-3. Öffnung?
✅ Nach oben (Min)
Aufgabe 5.3.3Mittel
y=-2x²+8x-5. Scheitelpunkt?
Hochpunkt bei (2|3)
✅ H(2|3)
Aufgabe 5.3.4Schwer
Nach oben, S(1|4). Für welche x ist y>0?
Min bei y=4>0
✅ Für alle x!
📊

Wachstum & Zerfall

Linear vs. Exponentiell

📖 Gleiche Zunahme

y = b + m·t
b = Startwert, m = Zunahme pro Zeitschritt
Aufgabe 6.1.1Leicht
Baum 150 cm, +20cm/Jahr. Nach 5J?
150+100=250
✅ 250 cm
Aufgabe 6.1.2Leicht
Konto 200 €, +50€/Monat. Nach 8 Mon?
200+400=600
✅ 600 €
Aufgabe 6.1.3Mittel
Auto 8L/100 km, Tank 60L. Reichweite?
60÷8·100=750
✅ 750 km
Aufgabe 6.1.4Schwer
Becken 50.000L, 20% voll, +200L/min. Dauer bis voll?
40.000÷200=200min=3h20min
✅ 3h 20min

📖 Mit Faktor multiplizieren

y = a · qⁿ
q = 1 + p/100 (Wachstum) oder 1 - p/100 (Zerfall)
💡 Unterschied: Linear = gleicher Betrag, Exponentiell = gleicher Faktor
Aufgabe 6.2.1Leicht
100 Bakterien, Verdopplung/h. Nach 3h?
100·8=800
✅ 800
Aufgabe 6.2.2Leicht
Start 500, ·2 pro Schritt. Nach 4?
500·16=8000
✅ 8000
Aufgabe 6.2.3Mittel
1000 €, 5%/Jahr. Nach 10J?
1000 · 1,05¹⁰ ≈ 1629
✅ ≈ 1629 €
Aufgabe 6.2.4Mittel
2000 €, 3%/Jahr. Nach 2J?
2000·1,03²≈ 2122
✅ ≈ 2122 €
Aufgabe 6.2.5Schwer
50.000 Einw., +2%/J. Wann 60.000?
n=log(1,2)/log(1,02)≈ 9,2
✅ ≈ 9,2 Jahre

📖 Zeit berechnen

Verdopplung: 2 = qⁿ → n = log(2)/log(q)
Halbwert: 0,5 = qⁿ → n = log(0,5)/log(q)
Aufgabe 6.3.1Leicht
HWZ 10J. Von 100g nach 20J?
100→50→25
✅ 25g
Aufgabe 6.3.2Leicht
HWZ 6h. Von 400 mg nach 18h?
400→200→100→50
✅ 50 mg
Aufgabe 6.3.3Mittel
Verdopplung alle 3h. Wann verzehnfacht?
3,32·3 ≈ 10h
✅ ≈ 10h
Aufgabe 6.3.4Schwer
Medikament HWZ 4h. Wann noch 10%?
3,32·4 ≈ 13,3h
✅ ≈ 13,3h
Aufgabe 6.3.5Schwer
Von 1000g nach 2h noch 250g. HWZ?
1/4=(1/2)² → 2 HWZ in 2h
✅ 1 Stunde
💰

Prozentrechnung & Finanzmathematik

Rabatte, Mehrwertsteuer, Zinsen

📖 Die drei Grundformeln

W = G · p/100 (Wert berechnen)
G = W · 100/p (Grundwert finden)
p = W/G · 100 (Prozentsatz finden)
Aufgabe 7.1.1Leicht
20% von 150€?
✅ 30 €
Aufgabe 7.1.2Leicht
35% von 200?
✅ 70
Aufgabe 7.1.3Mittel
15% = 45 €. Grundwert?
45·100/15=300
✅ 300 €
Aufgabe 7.1.4Schwer
80€ → 68€. Wie viel % Rabatt?
12/80·100=15
✅ 15%
Aufgabe 7.1.5Schwer
250€ → 280€. Wie viel % Erhöhung?
30/250·100=12
✅ 12%

📖 Rechnen mit Preisen

Rabatt: mit (1 - p/100) multiplizieren
Mehrwertsteuer (19%): Netto · 1,19 = Brutto

⚠️ Rabatt und MwSt nie addieren! Nacheinander berechnen.
Aufgabe 7.2.1Leicht
50 €, 20% Rabatt?
50·0,8=40
✅ 40 €
Aufgabe 7.2.2Leicht
120 €, 25% Rabatt?
120·0,75=90
✅ 90 €
Aufgabe 7.2.3Mittel
Brutto 119 € (19% MwSt). Netto?
119/1,19=100
✅ 100 €
Aufgabe 7.2.4Schwer
15% Rabatt, 19% MwSt. Zahlung 203,49 €. Originalpreis?
203,49/1,19 ≈ 171 → 171/0,85 ≈ 201
✅ ≈ 201 €

📖 Zinsen berechnen

Z = K · p/100 · t/360
Zinseszins: Kₙ = K₀ · (1+p/100)ⁿ
💡 Bankjahr = 360 Tage!
Aufgabe 7.3.1Leicht
5000 € bei 3%. Zinsen 1 Jahr?
✅ 150 €
Aufgabe 7.3.2Leicht
3000 € bei 2%. Zinsen?
✅ 60 €
Aufgabe 7.3.3Mittel
2000 €, 180 Tage, 4%?
2000·4/100·180/360=40
✅ 40 €
Aufgabe 7.3.4Schwer
1000 €, 5J, 4% Zinseszins?
1000 · 1,04⁵ ≈ 1216,70
✅ ≈ 1216,70 €
📐

Geometrie: Flächen & Körper

Formeln anwenden und umstellen

📖 Formeln

Rechteck: A = a·b
Dreieck: A = g·h/2
Kreis: A = π·r², U = 2·π·r
Aufgabe 8.1.1Leicht
Rechteck 8×5 cm. A?
✅ A = 40 cm²
Aufgabe 8.1.2Leicht
Dreieck g=10, h=6. A?
10·6/2=30
✅ A = 30 cm²
Aufgabe 8.1.3Mittel
Kreis d=10 cm. U und A?
r=5: U≈ 31,4 cm, A≈ 78,5 cm²
✅ U≈ 31,4, A≈ 78,5
Aufgabe 8.1.4Schwer
Gleichsch. Dreieck g=12, Schenkel=10. A?
h=√(100-36)=8 → A=12·8/2=48
✅ 48 cm²

📖 Volumenformeln

Quader: V=a·b·c
Zylinder: V=π·r²·h
Kegel: V=π·r²·h/3
Kugel: V=4/3·π·r³
💡 Kegel = 1/3 Zylinder (gleiches r und h)
Aufgabe 8.2.1Leicht
Quader 5×4×3. V?
✅ V = 60 cm³
Aufgabe 8.2.2Leicht
Würfel a=6. V?
✅ V = 216 cm³
Aufgabe 8.2.3Mittel
Zylinder r=4, h=10. V?
160π≈ 503
✅ ≈ 503 cm³
Aufgabe 8.2.4Schwer
Kugel V=1000 cm³. r?
r³≈ 238,7 → r≈ 6,2
✅ ≈ 6,2 cm
Aufgabe 8.2.5Schwer
Kegel r=3, h=10. V?
30π≈ 94
✅ ≈ 94 cm³

📖 Umrechnungen

1 m = 100 cm
1 m² = 10.000 cm² (100·100!)
1 m³ = 1.000.000 cm³
1 Liter = 1 dm³ = 1000 cm³

Aufgabe 8.3.1Leicht
2,5 m³ = ? Liter
✅ 2500 Liter
Aufgabe 8.3.2Leicht
4,5 m² = ? cm²
✅ 45.000 cm²
Aufgabe 8.3.3Mittel
Aquarium 80×40×50 cm. Liter?
160.000cm³=160L
✅ 160 Liter
Aufgabe 8.3.4Schwer
Becken 25×10×1,8 m bei 90% gefüllt?
450·0,9=405
✅ 405 m³
📏

Dreiecke & Trigonometrie

Satz des Pythagoras, Sinus, Cosinus, Tangens

📖 a² + b² = c²

Nur im rechtwinkligen Dreieck!
c = Hypotenuse (längste Seite)
a,b = Katheten

💡 Merke: 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10
Aufgabe 9.1.1Leicht
Katheten 3, 4. Hypotenuse?
√(9+16)=5
✅ 5 cm
Aufgabe 9.1.2Leicht
Katheten 6, 8. Hypotenuse?
√100=10
✅ 10 cm
Aufgabe 9.1.3Mittel
Hyp. 13, Kathete 5. Andere?
√(169-25)=12
✅ 12 cm
Aufgabe 9.1.4Mittel
Leiter 5 m, 3 m von Wand. Höhe?
√(25-9)=4
✅ 4 m
Aufgabe 9.1.5Schwer
Ist 7,24,25 rechtwinklig?
49+576=625=25² ✓
✅ Ja!
Aufgabe 9.1.6Schwer
Ist 5,12,13 rechtwinklig?
25+144=169=13² ✓
✅ Ja!

📖 Merksätze

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
💡 GAGA HüHü: Gegen/Hyp (sin), An/Hyp (cos), Gegen/An (tan)
Aufgabe 9.2.1Leicht
Hyp.=10, α=30°. Gegenkathete?
10·sin30°=5
✅ 5 cm
Aufgabe 9.2.2Leicht
tan45°=1, Ankathete=12. GK?
✅ 12 cm
Aufgabe 9.2.3Mittel
Katheten 6, 8. Winkel?
tan(α)=0,75→α≈ 36,9°, β≈ 53,1°
✅ 36,9° und 53,1°
Aufgabe 9.2.4Schwer
Turm 50 m entfernt, 35°. Höhe?
50·tan35°≈ 35
✅ ≈ 35 m
Aufgabe 9.2.5Schwer
Leiter 6 m, 60° zum Boden. Höhe?
6·sin60°≈ 5,2
✅ ≈ 5,2 m
Aufgabe 9.3.1Leicht
Leiter 5 m, 3 m von Wand. Höhe?
√(25-9)=4
✅ 4 m
Aufgabe 9.3.2Mittel
Flugzeug 3000 m hoch, 5000 m entfernt. Winkel?
tan(α)=0,6→α≈ 31°
✅ ≈ 31°
Aufgabe 9.3.3Schwer
2 Beobachter 100 m, Ballon unter 45° und 60°. Höhe?
x=(100-x)·√3 → x≈ 63,4
✅ ≈ 63,4 m
🎲

Daten, Statistik & Wahrscheinlichkeit

Diagramme, Kennzahlen, Wahrscheinlichkeiten

📖 Diagrammtypen

Balkendiagramm: Vergleiche
Kreisdiagramm: Anteile (360° = 100%)
Liniendiagramm: Verläufe

Aufgabe 10.1.1Leicht
Kreisdiagramm 90° = ?%
90/360=0,25
✅ 25%
Aufgabe 10.1.2Mittel
12 Mädchen, 8 Jungen. Kreisdiagramm-Winkel?
M: 216°, J: 144°
✅ 216° und 144°
Aufgabe 10.1.3Schwer
5 Jahre Umsätze: Wie ∅ jährl. Steigerung?
✅ % Steigerung pro Jahr berechnen, Durchschnitt bilden

📖 Kennzahlen

Mittelwert: Summe / Anzahl
Median: mittlerer Wert (sortiert!)
Spannweite: Max - Min

💡 Median ist robust gegen Ausreißer!
Aufgabe 10.2.1Leicht
Mittelwert: 5,7,8,10
30/4=7,5
✅ 7,5
Aufgabe 10.2.2Leicht
Mittelwert: 4,6,8,10,12
40/5=8
✅ 8
Aufgabe 10.2.3Mittel
Median+Spannweite: 12,5,8,15,3,9,11
Sortiert: 3,5,8,9,11,12,15 → Med=9, Spw=12
✅ Median=9, Spannweite=12
Aufgabe 10.2.4Schwer
Noten 1,2,2,3,3,3,4,4,5. Schüler ändert 5 in 3. Was ändert sich?
Mittel: 3→2,78. Median bleibt 3
✅ Nur Mittelwert sinkt!

📖 Box-Whisker-Plot

Min, Q1 (25%), Median (50%), Q3 (75%), Max
Box = mittlere 50%

Aufgabe 10.3.1Leicht
Median bei 10. Bedeutung?
✅ 50% ≤10, 50% ≥10
Aufgabe 10.3.2Leicht
Min=5,Q1=10,Med=15,Q3=20,Max=25. Wie viel % in Box?
✅ 50%
Aufgabe 10.3.3Mittel
Daten 1-8. Boxplot-Werte?
Med=4,5 | Q1=2,5 | Q3=6,5
✅ Min=1,Q1=2,5,Med=4,5,Q3=6,5,Max=8
Aufgabe 10.3.4Schwer
Klasse A: Box 4-8(Med=6). B: Box 3-9(Med=7). Vergleich?
A homogener (IQR=4), B besser (Med=7) aber heterogener (IQR=6)
✅ B besser im Schnitt, A gleichmäßiger

📖 Laplace-Wahrscheinlichkeit

P(E) = günstige / mögliche

Oder-Regel: P(A)+P(B) | Und-Regel: P(A)·P(B)

Aufgabe 10.4.1Leicht
Würfel: P(6)?
✅ 1/6 ≈ 16,7%
Aufgabe 10.4.2Leicht
Würfel: P(gerade)?
3/6
✅ 1/2 = 50%
Aufgabe 10.4.3Mittel
3 rote, 5 blaue, 2 grüne. P(rot oder grün)?
5/10
✅ 50%
Aufgabe 10.4.4Schwer
Zwei Würfel: P(Summe≥9)?
10 günstige von 36
✅ 10/36 ≈ 27,8%

📖 Pfadregeln

1. Pfadregel (Und): Multiplizieren entlang des Pfades
2. Pfadregel (Oder): Addieren verschiedener Pfade

⚠️ Mit/Ohne Zurücklegen beachten!
Aufgabe 10.5.1Leicht
Münze 2×: P(2× Kopf)?
0,5·0,5=0,25
✅ 25%
Aufgabe 10.5.2Leicht
Münze 3×: P(3× Kopf)?
0,5³=1/8
✅ 12,5%
Aufgabe 10.5.3Mittel
4 weiße, 6 schwarze Socken. 2 ohne Zurücklegen. P(beide weiß)?
4/10·3/9=12/90=2/15
✅ ≈ 13,3%
Aufgabe 10.5.4Mittel
3 rote, 4 blaue, 3 gelbe. 2 ohne Zurücklegen. P(beide rot)?
3/10·2/9=6/90=1/15
✅ ≈ 6,7%
Aufgabe 10.5.5Schwer
4 Fragen, je 3 Antworten. P(≥3 richtig) beim Raten?
P(3)=8/81, P(4)=1/81 → 9/81=1/9
✅ ≈ 11,1%