📐 MSA Mathematik Übungsbuch

Alle 10 Blöcke · Unterkategorien · Erklärungen · Aufklappbare Lösungen

Block 1 / 10

🔢 Block 1: Zahlen & Terme

1.1 Rechenregeln (Punkt-vor-Strich, Klammern)

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📚 Rechenregeln (Punkt-vor-Strich, Klammern)

Bei mathematischen Ausdrücken gilt eine feste Reihenfolge. Wenn du diese nicht einhältst, bekommst du falsche Ergebnisse!

• Klammern zuerst: Alles innerhalb von Klammern wird zuerst berechnet

• Potenzen und Wurzeln: Werden als Nächstes berechnet (z.B. 3² oder √16)

• Punktrechnung: Multiplikation (·) und Division (:) kommen vor Strichrechnung

• Strichrechnung: Addition (+) und Subtraktion (-) werden zuletzt berechnet

Merke die Reihenfolge:
1️⃣ Klammern → 2️⃣ Potenzen/Wurzeln → 3️⃣ Punkt (· und :) → 4️⃣ Strich (+ und -)
💡 Beispiel: Bei 3 + 4 · 2 rechnest du ZUERST 4 · 2 = 8, DANN 3 + 8 = 11.
Falsch wäre: 3 + 4 = 7, dann 7 · 2 = 14 ❌
Aufgabe 1.1.1Leicht
Berechne: 7 + 3 · 5

Lösung:

Punkt vor Strich: 3·5 = 15
7 + 15 = 22
✅ 22
Aufgabe 1.1.2Leicht
Berechne: 20 - 4 · 3 + 2

Lösung:

4·3=12 → 20-12+2 = 10
✅ 10
Aufgabe 1.1.3Leicht
Berechne: 6 + 18 : 3

Lösung:

18:3=6 → 6+6=12
✅ 12
Aufgabe 1.1.4Mittel
Berechne: (5 + 3) · 2 - 4 · 2

Lösung:

Klammer: 8, Punkt: 8·2=16, 4·2=8, Strich: 16-8=8
✅ 8
Aufgabe 1.1.5Mittel
Berechne: (12 - 4) · 3 + 2²

Lösung:

Klammer: 8, Potenz: 4, Punkt: 24, Strich: 28
✅ 28
Aufgabe 1.1.6Mittel
Berechne: 3·(7-2) + 4·(3+1)

Lösung:

3·5=15, 4·4=16 → 15+16=31
✅ 31
Aufgabe 1.1.7Schwer
Berechne: 2·(3 + 2·4) - (15 - 3·2)

Lösung:

Innere: 2·4=8→3+8=11 | 3·2=6→15-6=9
2·11-9 = 22-9 = 13
✅ 13
Aufgabe 1.1.8Schwer
Berechne: 4·(2 + 3²) - (20 - 2·6)

Lösung:

3²=9→2+9=11 | 2·6=12→20-12=8
4·11-8 = 44-8 = 36
✅ 36
Aufgabe 1.1.9Schwer
Berechne: [(8+4)·3 - 6] : 3

Lösung:

8+4=12, 12·3=36, 36-6=30, 30:3=10
✅ 10

1.2 Potenzen und Wurzeln

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📚 Potenzen und Wurzeln

Eine Potenz ist eine abgekürzte Schreibweise für wiederholte Multiplikation:

• 2³ bedeutet: 2 · 2 · 2 = 8 (die Basis 2 wird 3-mal mit sich selbst multipliziert)

• 5² bedeutet: 5 · 5 = 25 (5 zum Quadrat)

Die Wurzel ist die Umkehrung der Potenz:

• √16 = 4, weil 4 · 4 = 16

• √25 = 5, weil 5 · 5 = 25

Wichtige Potenzgesetze:

Gleiche Basis multiplizieren: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (Exponenten addieren)
Beispiel: 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128

Gleiche Basis dividieren: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (Exponenten subtrahieren)
Beispiel: 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25

Potenz einer Potenz: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ (Exponenten multiplizieren)
Beispiel: (2³)² = 2⁶ = 64
Aufgabe 1.2.1Leicht
Berechne: 3² + 4²

Lösung:

9 + 16 = 25
✅ 25
Aufgabe 1.2.2Leicht
Berechne: √49 + √16

Lösung:

7 + 4 = 11
✅ 11
Aufgabe 1.2.3Leicht
Berechne: 2⁴

Lösung:

2·2·2·2 = 16
✅ 16
Aufgabe 1.2.4Mittel
Berechne: √(25 + 144)

Lösung:

25+144=169 → √169=13
✅ 13
Aufgabe 1.2.5Mittel
Vereinfache: 3⁴ : 3²

Lösung:

Exponenten subtrahieren: 3² = 9
✅ 9
Aufgabe 1.2.6Mittel
Berechne: 2⁴ · 2³

Lösung:

2⁷ = 128
✅ 128
Aufgabe 1.2.7Schwer
Vereinfache: (2³)² · 2⁵

Lösung:

(2³)²=2⁶ → 2⁶·2⁵=2¹¹=2048
✅ 2¹¹ = 2048
Aufgabe 1.2.8Schwer
Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √50?

Lösung:

7²=49, 8²=64 → 49 < 50 < 64
✅ Zwischen 7 und 8
Aufgabe 1.2.9Schwer
Vereinfache: (5²)³ : 5⁴

Lösung:

5⁶:5⁴ = 5² = 25
✅ 25

1.3 Terme umformen und zusammenfassen

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📚 Terme umformen und zusammenfassen

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck mit Zahlen und Variablen.

• Gleichartige Terme zusammenfassen: Nur Terme mit der gleichen Variable können zusammengefasst werden

Beispiel: 3x + 5x = 8x ✅  |  Aber: 3x + 2y kann NICHT zusammengefasst werden ❌

• Ausmultiplizieren: Jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor multiplizieren

Beispiel: a · (b + c) = ab + ac

Die drei binomischen Formeln:

1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b²
⚠️ Häufiger Fehler: Beim Ausmultiplizieren mit Minus aufpassen!
-2 · (x - 3) = -2x + 6 (Minus mal Minus ergibt Plus!)
Aufgabe 1.3.1Leicht
Vereinfache: 5x + 3x - 2x

Lösung:

(5+3-2)x = 6x
✅ 6x
Aufgabe 1.3.2Leicht
Vereinfache: 4x + 3y + 2x - y

Lösung:

6x + 2y
✅ 6x + 2y
Aufgabe 1.3.3Leicht
Vereinfache: 8a - 5a + a

Lösung:

(8-5+1)a = 4a
✅ 4a
Aufgabe 1.3.4Mittel
Vereinfache: 3·(2x+4) - 2·(x-3)

Lösung:

6x+12-2x+6 = 4x+18
✅ 4x + 18
Aufgabe 1.3.5Mittel
Vereinfache: 4·(3x-2) + 5x

Lösung:

12x-8+5x = 17x-8
✅ 17x - 8
Aufgabe 1.3.6Mittel
Vereinfache: 5·(a+2b) - 3·(2a-b)

Lösung:

5a+10b-6a+3b = -a+13b
✅ -a + 13b
Aufgabe 1.3.7Schwer
Vereinfache: (2a+3b)² - (2a-3b)²

Lösung:

(4a²+12ab+9b²)-(4a²-12ab+9b²) = 24ab
✅ 24ab
Aufgabe 1.3.8Schwer
Vereinfache: (3x+2)(x-4)

Lösung:

3x²-12x+2x-8 = 3x²-10x-8
✅ 3x²-10x-8
Aufgabe 1.3.9Schwer
Vereinfache: (x+5)² - (x-5)²

Lösung:

Formel: (a + b)² − (a − b)² = 4ab
Hier: a = x und b = 5
= 4 · x · 5 = 20x
✅ Ergebnis: 20x

1.4 Zahlen vergleichen und ordnen

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📚 Zahlen vergleichen und ordnen

Auf der Zahlengeraden sind Zahlen weiter rechts immer größer als Zahlen weiter links.

• Negative Zahlen sind immer kleiner als positive Zahlen

• Bei negativen Zahlen gilt: Je größer die Zahl hinter dem Minus, desto kleiner ist sie!

Beispiel: -5 < -2 < 0 < 3 < 7

• Brüche vergleichen: Am einfachsten als Dezimalzahlen umrechnen

Beispiel: 1/3 ≈ 0,333  |  2/5 = 0,4  |  3/4 = 0,75

💡 Tipp für Wurzeln: Wenn du wissen willst, wo √50 liegt, suche die Quadratzahlen drumherum:
7² = 49 und 8² = 64 → Also liegt √50 zwischen 7 und 8
Aufgabe 1.4.1Leicht
Ordne (kleinste zuerst): -3, 2, 0, -1

Lösung:

✅ -3 < -1 < 0 < 2
Aufgabe 1.4.2Leicht
Ordne: 5, -2, 7, -4, 0

Lösung:

✅ -4 < -2 < 0 < 5 < 7
Aufgabe 1.4.3Mittel
Ordne: 0,5 ; 1/3 ; 2/5 ; 0,4

Lösung:

1/3 ≈ 0,333 | 2/5=0,4
✅ 1/3 < 0,4=2/5 < 0,5
Aufgabe 1.4.4Mittel
Ordne: 3/4 ; 0,7 ; 5/8 ; 0,8

Lösung:

3/4=0,75 | 5/8=0,625
✅ 5/8 < 0,7 < 3/4 < 0,8
Aufgabe 1.4.5Schwer
Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √50?

Lösung:

7²=49, 8²=64
✅ Zwischen 7 und 8
Aufgabe 1.4.6Schwer
Ordne: √10, π, 3,2, 10/3

Lösung:

√10 ≈ 3,162 | π≈ 3,142 | 10/3 ≈ 3,333
✅ π < √10 < 3,2 < 10/3

⚖️ Block 2: Lineare Gleichungen & Gleichungssysteme

2.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen

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📚 Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Eine lineare Gleichung hat die Form ax + b = c. Das Ziel: x alleine auf einer Seite!

• Schritt 1: Klammern auflösen (falls vorhanden)

• Schritt 2: Alle x-Terme auf eine Seite bringen, alle Zahlen auf die andere

• Schritt 3: Durch den Faktor vor x teilen

Wichtige Regel: Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen Seite machen!

Beispiel: 2x + 4 = 10
Schritt 1: -4 auf beiden Seiten → 2x = 6
Schritt 2: :2 auf beiden Seiten → x = 3 ✅
💡 Probe nicht vergessen: Setze dein Ergebnis immer zur Kontrolle ein! 2·3 + 4 = 10 ✅
Aufgabe 2.1.1Leicht
Löse: 2x + 4 = 10

Lösung:

2x=6 → x=3
✅ x = 3
Aufgabe 2.1.2Leicht
Löse: 5x - 10 = 15

Lösung:

5x=25 → x=5
✅ x = 5
Aufgabe 2.1.3Leicht
Löse: 3x + 7 = 22

Lösung:

3x=15 → x=5
✅ x = 5
Aufgabe 2.1.4Mittel
Löse: 3·(x-2) = 2·(x+1)

Lösung:

3x-6=2x+2 → x=8
✅ x = 8
Aufgabe 2.1.5Mittel
Löse: 4·(x+3) = 3·(x+5)

Lösung:

4x+12=3x+15 → x=3
✅ x = 3
Aufgabe 2.1.6Mittel
Löse: 7x - 3 = 4x + 9

Lösung:

3x=12 → x=4
✅ x = 4
Aufgabe 2.1.7Schwer
Löse: (2x+1):3 = (x-2):2

Lösung:

2(2x+1)=3(x-2) → 4x+2=3x-6 → x=-8
✅ x = -8
Aufgabe 2.1.8Schwer
Löse: (3x-1)/4 = (2x+5)/3

Lösung:

9x-3=8x+20 → x=23
✅ x = 23

2.2 Gleichungssysteme (Einsetz- und Additionsverfahren)

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📚 Gleichungssysteme (Einsetz- und Additionsverfahren)

Bei einem Gleichungssystem hast du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x und y).

• Einsetzverfahren:

1. Löse eine Gleichung nach x (oder y) auf

2. Setze das Ergebnis in die andere Gleichung ein

3. Löse nach der verbleibenden Variable auf

• Additionsverfahren:

1. Multipliziere die Gleichungen so, dass eine Variable den gleichen Faktor hat

2. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen, sodass eine Variable wegfällt

3. Löse nach der verbleibenden Variable auf

Beispiel (Additionsverfahren):
I: x + y = 5   |   II: x - y = 1
I + II: 2x = 6 → x = 3
In I einsetzen: 3 + y = 5 → y = 2
Aufgabe 2.2.1Leicht
Löse: x+y=5, x-y=1

Lösung:

Addition: 2x=6 → x=3, y=2
✅ x=3, y=2
Aufgabe 2.2.2Leicht
Löse: x+y=8, x-y=2

Lösung:

2x=10 → x=5, y=3
✅ x=5, y=3
Aufgabe 2.2.3Mittel
Löse: 2x+3y=13, x-y=1

Lösung:

Aus II: x=y+1 → 2(y+1)+3y=13 → 5y=11 → y=2,2, x=3,2
✅ x=3,2 ; y=2,2
Aufgabe 2.2.4Mittel
Löse: 3x+y=11, x+2y=7

Lösung:

x=7-2y → 3(7-2y)+y=11 → y=2, x=3
✅ x=3, y=2
Aufgabe 2.2.5Schwer
Löse: 3x+2y=16, 5x-3y=5

Lösung:

I · 3: 9x + 6y = 48
II · 2: 10x − 6y = 10
Addieren: 19x = 58 → x = 58/19
In I: y = (16 − 3 · 58/19) / 2 = 65/19
✅ x = 58/19 ≈ 3,05 ; y = 65/19 ≈ 3,42 (gerundet auf 2 Dezimalstellen)
Aufgabe 2.2.6Schwer
Löse: 2x+5y=19, 3x-2y=0

Lösung:

x=2y/3 → 4y/3+5y=19 → y=3, x=2
✅ x=2, y=3

2.3 Sachaufgaben mit Gleichungen

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📚 Sachaufgaben mit Gleichungen

Bei Sachaufgaben musst du den Text in eine Gleichung übersetzen.

• Schritt 1: Was ist gesucht? Eine Variable einführen (z.B. x)

• Schritt 2: Informationen aus dem Text als Gleichung aufschreiben

• Schritt 3: Gleichung lösen

• Schritt 4: Antwortsatz schreiben!

Übersetzungshilfe vom Text zur Gleichung:

ist / beträgt / ergibt → = (Gleichheitszeichen)
mehr als / älter als → + (Addition)
weniger als / jünger als → - (Subtraktion)
doppelt so viel / zweimal → · 2 (Multiplikation)
zusammen / insgesamt → Summe bilden
Aufgabe 2.3.1Leicht
Anna ist 3 Jahre älter als Ben. Zusammen 25. Alter Anna?

Lösung:

b+(b+3)=25 → b=11
✅ Anna = 14
Aufgabe 2.3.2Leicht
Tom: doppelt so viele Äpfel wie Lisa. Zusammen 18. Tom?

Lösung:

3x=18 → x=6 → Tom=12
✅ 12
Aufgabe 2.3.3Mittel
Rechteck: doppelt so lang wie breit. Umfang 36. Seiten?

Lösung:

Breite = b, Länge = 2b (doppelt so lang)
Umfang: U = 2 · (l + b) = 2 · (2b + b) = 2 · 3b = 6b
6b = 36 cm → b = 6 cm → l = 2 · 6 = 12 cm
✅ Breite = 6 cm, Länge = 12 cm
Aufgabe 2.3.4Mittel
Vater 30 Jahre älter als Sohn. In 5 Jahren doppelt so alt. Alter Sohn?

Lösung:

s+35=2(s+5) → s=25
✅ 25 Jahre
Aufgabe 2.3.5Schwer
3 Kugel. + 2 Bleist. = 8,50 €. 2 Kugel. + 4 Bleist. = 9 €. Preis Kugelschreiber?

Lösung:

I·2: 6k+4b=17 | -II: 4k=8 → k=2
✅ 2,00 €
Aufgabe 2.3.6Schwer
Drei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, Summe 75. Welche?

Lösung:

x+(x+2)+(x+4)=75 → 3x=69 → x=23
✅ 23, 25, 27

📈 Block 3: Lineare Funktionen

3.1 Der Funktionsbegriff

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📚 Der Funktionsbegriff

Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

• Schreibweise: f(x) = 2x + 1 bedeutet: Setze eine Zahl für x ein und rechne den y-Wert aus

• f(3) bedeutet: Setze x = 3 ein → f(3) = 2·3 + 1 = 7

Eine Funktion kann dargestellt werden als:

• Gleichung: f(x) = 2x + 1

• Wertetabelle: x-Werte einsetzen und y-Werte berechnen

• Graph: Punkte im Koordinatensystem einzeichnen und verbinden

💡 Punkt auf dem Graphen prüfen: Setze den x-Wert des Punktes in die Funktion ein. Kommt der y-Wert raus? Dann liegt der Punkt auf dem Graphen!
Aufgabe 3.1.1Leicht
f(x)=2x+1. f(3)?

Lösung:

2·3+1=7
✅ 7
Aufgabe 3.1.2Leicht
f(x)=3x-2. f(4)?

Lösung:

12-2=10
✅ 10
Aufgabe 3.1.3Mittel
Wertetabelle: f(x)=-x+2, x=-2,-1,0,1,2

Lösung:

f(-2)=4, f(-1)=3, f(0)=2, f(1)=1, f(2)=0
✅ Fertig!
Aufgabe 3.1.4Schwer
Liegt P(4|11) auf f(x)=3x-1?

Lösung:

f(4)=11 ✓
✅ Ja!
Aufgabe 3.1.5Schwer
Liegt P(3|5) auf f(x)=2x+1?

Lösung:

f(3)=7≠5
✅ Nein!

3.2 Steigung und y-Achsenabschnitt

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📚 Steigung und y-Achsenabschnitt

In der Gleichung y = mx + b sind zwei wichtige Werte versteckt:

• m = Steigung: Gibt an, wie steil die Gerade ist

   m = 2: Gehe 1 Schritt nach rechts → 2 Schritte nach oben

   m = -1: Gehe 1 Schritt nach rechts → 1 Schritt nach unten

   m = 0: Die Gerade ist waagerecht (horizontal)

• b = y-Achsenabschnitt: Der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet (bei x = 0)

Steigung aus zwei Punkten berechnen:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Beispiel: A(1|3) und B(3|7)
m = (7 - 3) / (3 - 1) = 4/2 = 2
Aufgabe 3.2.1Leicht
m und b von y=3x-2?

Lösung:

✅ m=3, b=-2
Aufgabe 3.2.2Leicht
m und b von y=-4x+7?

Lösung:

✅ m=-4, b=7
Aufgabe 3.2.3Mittel
Gerade durch A(1|3) und B(3|7). Gleichung?

Lösung:

m=(7-3)/(3-1)=2, b: 3=2·1+b→b=1
✅ y=2x+1
Aufgabe 3.2.4Mittel
Gerade durch A(0|5) und B(4|1). Gleichung?

Lösung:

m=-4/4=-1, b=5
✅ y=-x+5
Aufgabe 3.2.5Schwer
m=3, durch P(2|5). Wo x-Achse?

Lösung:

b=-1 → y=3x-1 → Nullst. x=1/3
✅ x=1/3
Aufgabe 3.2.6Schwer
m wenn Gerade durch P(2|5) und Q(5|14)?

Lösung:

m=9/3=3
✅ m=3

3.3 Graph zeichnen und ablesen

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📚 Graph zeichnen und ablesen

So zeichnest du eine lineare Funktion y = mx + b:

• Schritt 1: Markiere den y-Achsenabschnitt b auf der y-Achse (das ist dein Startpunkt)

• Schritt 2: Gehe von dort mit der Steigung weiter: 1 nach rechts, m nach oben (oder unten bei negativem m)

• Schritt 3: Verbinde die Punkte mit einem Lineal zu einer Geraden

Wichtige Punkte ablesen:

• Nullstelle: Wo schneidet die Gerade die x-Achse? → Setze y = 0 und löse nach x auf

• Schnittpunkt zweier Geraden: Setze die beiden Gleichungen gleich und löse nach x auf

💡 Tipp: Zeichne immer mindestens 2 Punkte ein, bevor du die Gerade ziehst. Zur Sicherheit sogar 3 Punkte!
Aufgabe 3.3.1Leicht
Wie zeichnet man y=2x+1?

Lösung:

Start (0|1), dann 1→,2↑ zu (1|3)
✅ Verbinden!
Aufgabe 3.3.2Mittel
Wo schneidet y=-0,5x+2 die x-Achse?

Lösung:

0=-0,5x+2 → x=4
✅ Bei (4|0)
Aufgabe 3.3.3Schwer
Schnittpunkt von f(x)=2x+1 und g(x)=-x+7?

Lösung:

2x+1=-x+7 → x=2, y=5
✅ S(2|5)
Aufgabe 3.3.4Schwer
Zwei Geraden bei S(2|4). m₁=2, m₂=-1. Gleichungen?

Lösung:

g₁: y=2x | g₂: y=-x+6
✅ y=2x und y=-x+6

✖️ Block 4: Quadratische Gleichungen

4.1 Normalform

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📚 Normalform einer quadratischen Gleichung

Die Normalform ist die Standardform, die du brauchst, um die pq-Formel anwenden zu können:

x² + px + q = 0

Jede quadratische Gleichung kann in diese Form gebracht werden:

• Wenn ein Faktor vor x² steht: Teile die gesamte Gleichung durch diesen Faktor

• Wenn die Gleichung nicht = 0 ist: Bringe alles auf eine Seite

Beispiel:
2x² + 6x + 4 = 0  →  Durch 2 teilen: x² + 3x + 2 = 0
Jetzt: p = 3, q = 2
Aufgabe 4.1.1Leicht
Normalform: 2x²+6x+4=0

Lösung:

÷2: x²+3x+2=0
✅ p=3, q=2
Aufgabe 4.1.2Leicht
Normalform: 4x²-8x+4=0

Lösung:

÷4: x²-2x+1=0
✅ p=-2, q=1
Aufgabe 4.1.3Mittel
Normalform: 3x²-9x=6

Lösung:

3x²-9x-6=0 →÷3: x²-3x-2=0
✅ p=-3, q=-2
Aufgabe 4.1.4Schwer
Normalform: (x+1)(x-2)=4

Lösung:

x²-x-2=4 → x²-x-6=0
✅ p=-1, q=-6

4.2 Die pq-Formel

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📚 Die pq-Formel

Mit der pq-Formel löst du jede quadratische Gleichung in Normalform:

Für x² + px + q = 0 gilt:

x = -p/2 ± √( (p/2)² - q )

So wendest du sie Schritt für Schritt an:

• Schritt 1: Gleichung in Normalform bringen (Faktor vor x² muss 1 sein!)

• Schritt 2: p und q ablesen

• Schritt 3: In die Formel einsetzen

• Schritt 4: Einmal mit + und einmal mit - rechnen → ergibt bis zu zwei Lösungen!

⚠️ Achtung: Steht ein Faktor vor x² (z.B. 2x² - 8x + 6 = 0), musst du ZUERST die ganze Gleichung durch diesen Faktor teilen!
Aufgabe 4.2.1Leicht
x²-6x+5=0

Lösung:

x=3±√(9-5)=3±2
✅ x₁=5, x₂=1
Aufgabe 4.2.2Leicht
x²-25=0

Lösung:

x²=25 → x= ±5
✅ x₁=5, x₂=-5
Aufgabe 4.2.3Mittel
x²+4x-5=0

Lösung:

x=-2±√(4+5)=-2±3
✅ x₁=1, x₂=-5
Aufgabe 4.2.4Mittel
x²-8x+15=0

Lösung:

x=4±√(16-15)=4±1
✅ x₁=5, x₂=3
Aufgabe 4.2.5Schwer
2x²-8x+6=0

Lösung:

÷2: x²-4x+3=0 → x=2±1
✅ x₁=3, x₂=1
Aufgabe 4.2.6Schwer
(x+1)(x-2)=4

Lösung:

x²-x-6=0 → x=0,5±2,5
✅ x₁=3, x₂=-2

4.3 Diskriminante und Anzahl der Lösungen

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📚 Diskriminante und Anzahl der Lösungen

Der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel heißt Diskriminante D:

D = (p/2)² - q

Die Diskriminante verrät dir, wie viele Lösungen die Gleichung hat:

• D > 0 (positiv): Es gibt 2 verschiedene Lösungen → Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal

• D = 0 (null): Es gibt genau 1 Lösung → Die Parabel berührt die x-Achse

• D < 0 (negativ): Es gibt keine Lösung → Die Parabel erreicht die x-Achse nicht

⚠️ Merke: Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen! Deshalb gilt: D < 0 → keine Lösung.
Aufgabe 4.3.1Leicht
x²-4x+3=0. Anzahl?

Lösung:

D=4-3=1>0
✅ 2 Lösungen
Aufgabe 4.3.2Leicht
x²-6x+9=0. Anzahl?

Lösung:

D=9-9=0
✅ 1 Lösung
Aufgabe 4.3.3Mittel
x²+2x+5=0. Anzahl?

Lösung:

D=1-5=-4<0
✅ Keine
Aufgabe 4.3.4Mittel
Welches c → genau 1 Lsg bei x²+2x+c=0?

Lösung:

D=1-c=0
✅ c=1
Aufgabe 4.3.5Schwer
Welche k → keine Lsg bei kx²-4x+4=0?

Lösung:

D=16-16k<0 → k>1
✅ k>1
Aufgabe 4.3.6Schwer
Welches c → 1 Lsg bei x²-6x+c=0?

Lösung:

D=9-c=0
✅ c=9

🎯 Block 5: Quadratische Funktionen (Parabeln)

5.1 Normalform und Scheitelpunktform

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📚 Normalform und Scheitelpunktform

Eine quadratische Funktion kann in zwei Formen geschrieben werden:

• Normalform: y = ax² + bx + c (gut zum Rechnen)

• Scheitelpunktform: y = a(x - d)² + e (gut zum Ablesen des Scheitelpunkts)

Der Scheitelpunkt S(d|e) ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

Umwandlung durch quadratische Ergänzung:

Beispiel: y = x² - 6x + 5
Schritt 1: Die Hälfte von 6 ist 3, und 3² = 9
Schritt 2: y = (x² - 6x + 9) - 9 + 5
Schritt 3: y = (x - 3)² - 4
→ Scheitelpunkt S(3|-4)
💡 Achtung Vorzeichen: Bei y = (x + 4)² - 5 ist der Scheitelpunkt S(-4|-5)!
Das + in der Klammer wird zum - im Scheitelpunkt.
Aufgabe 5.1.1Leicht
S von y=(x-2)²+3?

Lösung:

✅ S(2|3)
Aufgabe 5.1.2Leicht
S von y=(x+4)²-5?

Lösung:

✅ S(-4|-5)
Aufgabe 5.1.3Mittel
SPF: y=x²-6x+5

Lösung:

(x-3)²-4
✅ S(3|-4)
Aufgabe 5.1.4Mittel
SPF: y=x²+4x+1

Lösung:

(x+2)²-3
✅ S(-2|-3)
Aufgabe 5.1.5Schwer
SPF: y=2x²-8x+6

Lösung:

2(x-2)²-2
✅ S(2|-2)

5.2 Nullstellen

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📚 Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet (also wo y = 0 ist).

So berechnest du Nullstellen:

• Schritt 1: Setze y = 0

• Schritt 2: Bringe die Gleichung in Normalform

• Schritt 3: Wende die pq-Formel an

Beispiel: y = x² - 5x + 6
Setze y = 0: x² - 5x + 6 = 0
pq-Formel: x = 2,5 ± √(6,25 - 6) = 2,5 ± 0,5
→ x₁ = 3 und x₂ = 2
💡 Sonderfälle (schneller ohne pq-Formel):
• y = x² - 9 → direkt: x² = 9 → x = ±3
• y = x² + 4x → Ausklammern: x(x+4) = 0 → x₁ = 0 oder x₂ = -4
Aufgabe 5.2.1Leicht
y=x²-9

Lösung:

x²=9
✅ x= ±3
Aufgabe 5.2.2Leicht
y=x²-16

Lösung:

x²=16
✅ x= ±4
Aufgabe 5.2.3Mittel
y=x²-5x+6

Lösung:

x=2,5±0,5
✅ x₁=3, x₂=2
Aufgabe 5.2.4Mittel
y=-x²+4x

Lösung:

x(-x+4)=0
✅ x₁=0, x₂=4
Aufgabe 5.2.5Schwer
S(2|-1), durch P(0|3). Nullstellen?

Lösung:

a=1, y=(x-2)²-1 → x=1 oder 3
✅ x₁=1, x₂=3
Aufgabe 5.2.6Schwer
y=-x²+6x-5. Nullstellen?

Lösung:

x²-6x+5=0 → x=3±2
✅ x₁=5, x₂=1

5.3 Lage zur x-Achse

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📚 Lage und Öffnung der Parabel

Der Faktor a (vor dem x²) bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel:

• a > 0 (positiv): Parabel öffnet nach oben ∪ → hat ein Minimum (Tiefpunkt)

• a < 0 (negativ): Parabel öffnet nach unten ∩ → hat ein Maximum (Hochpunkt)

Was |a| (der Betrag von a) beeinflusst:

• |a| > 1: Parabel ist schmaler als die Normalparabel

• |a| < 1: Parabel ist breiter als die Normalparabel

• |a| = 1: Normalparabel (y = x²)

Aufgabe 5.3.1Leicht
y=-x²+4x. Max oder Min?

Lösung:

a=-1<0
✅ Maximum
Aufgabe 5.3.2Leicht
y=2x²-3. Öffnung?

Lösung:

✅ Nach oben (Min)
Aufgabe 5.3.3Mittel
y=-2x²+8x-5. Scheitelpunkt?

Lösung:

Hochpunkt bei (2|3)
✅ H(2|3)
Aufgabe 5.3.4Schwer
Nach oben, S(1|4). Für welche x ist y>0?

Lösung:

Min bei y=4>0
✅ Für alle x!

📊 Block 6: Wachstum & Zerfall

6.1 Lineares Wachstum

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📚 Lineares Wachstum

Beim linearen Wachstum wird in jedem Zeitschritt der gleiche Betrag addiert oder subtrahiert.

Formel: y = b + m · t

b = Startwert (Anfangswert)
m = Änderung pro Zeitschritt (Wachstumsrate)
t = Anzahl der Zeitschritte

Beispiel: Ein Baum ist 150 cm hoch und wächst jedes Jahr um 20 cm.

Nach 5 Jahren: 150 + 20 · 5 = 250 cm

💡 Erkennungsmerkmal: Die Zunahme ist immer gleich! (+20, +20, +20, ...)
Aufgabe 6.1.1Leicht
Baum 150 cm, +20cm/Jahr. Nach 5J?

Lösung:

150+100=250
✅ 250 cm
Aufgabe 6.1.2Leicht
Konto 200 €, +50€/Monat. Nach 8 Mon?

Lösung:

200+400=600
✅ 600 €
Aufgabe 6.1.3Mittel
Auto 8L/100 km, Tank 60L. Reichweite?

Lösung:

60÷8·100=750
✅ 750 km
Aufgabe 6.1.4Schwer
Becken 50.000L, 20% voll, +200L/min. Dauer?

Lösung:

40.000÷200=200min=3h20min
✅ 3h 20min

6.2 Exponentielles Wachstum

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📚 Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum wird mit einem festen Faktor multipliziert. Die Zunahme wird dabei immer größer!

Formel: y = a · qⁿ

a = Startwert
q = Wachstumsfaktor
n = Anzahl der Zeitschritte

Wachstum um p%: q = 1 + p/100 (z.B. 5% Wachstum → q = 1,05)
Zerfall um p%: q = 1 - p/100 (z.B. 10% Abnahme → q = 0,90)
💡 Unterschied linear vs. exponentiell:
Linear: +50, +50, +50, +50 ... (gleicher Betrag dazu)
Exponentiell: ·2, ·2, ·2, ·2 ... (gleicher Faktor, Betrag wird immer größer!)
Aufgabe 6.2.1Leicht
100 Bakterien, Verdopplung/h. Nach 3h?

Lösung:

100·8=800
✅ 800
Aufgabe 6.2.2Leicht
Start 500, ·2 pro Schritt. Nach 4?

Lösung:

500·16=8000
✅ 8000
Aufgabe 6.2.3Mittel
1000 €, 5%/Jahr. Nach 10J?

Lösung:

1000 · 1,05¹⁰ ≈ 1629
✅ ≈ 1629 €
Aufgabe 6.2.4Mittel
2000 €, 3%/Jahr. Nach 2J?

Lösung:

2000·1,03²≈ 2122
✅ ≈ 2122 €
Aufgabe 6.2.5Schwer
50.000 Einw., +2%/J. Wann 60.000?

Lösung:

n=log(1,2)/log(1,02)≈ 9,2
✅ ≈ 9,2 Jahre

6.3 Verdopplungs- und Halbwertszeit

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📚 Verdopplungs- und Halbwertszeit

Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt.

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sie auf die Hälfte sinkt.

Verdopplungszeit berechnen: 2 = qⁿ → n = log(2) / log(q)

Halbwertszeit berechnen: 0,5 = qⁿ → n = log(0,5) / log(q)

Beispiel Halbwertszeit: 100g einer Substanz, Halbwertszeit = 10 Jahre

• Nach 10 Jahren: 50g

• Nach 20 Jahren: 25g

• Nach 30 Jahren: 12,5g

Aufgabe 6.3.1Leicht
HWZ 10J. Von 100g nach 20J?

Lösung:

100→50→25
✅ 25g
Aufgabe 6.3.2Leicht
HWZ 6h. Von 400 mg nach 18h?

Lösung:

400→200→100→50
✅ 50 mg
Aufgabe 6.3.3Mittel
Verdopplung alle 3h. Wann verzehnfacht?

Lösung:

3,32·3 ≈ 10h
✅ ≈ 10h
Aufgabe 6.3.4Schwer
Medikament HWZ 4h. Wann noch 10%?

Lösung:

3,32·4 ≈ 13,3h
✅ ≈ 13,3h
Aufgabe 6.3.5Schwer
Von 1000g nach 2h noch 250g. HWZ?

Lösung:

1/4=(1/2)² → 2 HWZ in 2h
✅ 1 Stunde

💰 Block 7: Prozentrechnung & Finanzmathematik

7.1 Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

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📚 Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

Bei der Prozentrechnung gibt es drei Größen:

• Grundwert G: Das Ganze (= 100%)

• Prozentwert W: Der Teil, der einem bestimmten Prozentsatz entspricht

• Prozentsatz p: Der Anteil in Prozent

Die drei Grundformeln:

Prozentwert gesucht: W = G · p / 100
Grundwert gesucht: G = W · 100 / p
Prozentsatz gesucht: p = W / G · 100
💡 Beispiel: 20% von 150 € = 150 · 20/100 = 150 · 0,2 = 30 €
Aufgabe 7.1.1Leicht
20% von 150€?

Lösung:

✅ 30 €
Aufgabe 7.1.2Leicht
35% von 200?

Lösung:

✅ 70
Aufgabe 7.1.3Mittel
15% = 45 €. Grundwert?

Lösung:

45·100/15=300
✅ 300 €
Aufgabe 7.1.4Schwer
80€→68 €. Wie viel %?

Lösung:

12/80·100=15
✅ 15%
Aufgabe 7.1.5Schwer
250€→280 €. Wie viel %?

Lösung:

30/250·100=12
✅ 12%

7.2 Rabatt und Mehrwertsteuer

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📚 Rabatt und Mehrwertsteuer

Rabatt wird vom Preis abgezogen. Mehrwertsteuer (MwSt) wird hinzugefügt.

• Rabatt berechnen:

Neuer Preis = Alter Preis · (1 - Rabatt/100)

Beispiel: 50 € mit 20% Rabatt = 50 · 0,80 = 40 €

• Mehrwertsteuer (in Deutschland 19%):

Netto → Brutto: Netto · 1,19 = Brutto

Brutto → Netto: Brutto / 1,19 = Netto

⚠️ Achtung: Rabatt und MwSt immer nacheinander berechnen, nicht zusammenrechnen!
Erst Rabatt abziehen, DANN MwSt draufrechnen.
Aufgabe 7.2.1Leicht
50 €, 20% Rabatt?

Lösung:

50·0,8=40
✅ 40 €
Aufgabe 7.2.2Leicht
120 €, 25% Rabatt?

Lösung:

120·0,75=90
✅ 90 €
Aufgabe 7.2.3Mittel
Brutto 119 € (19% MwSt). Netto?

Lösung:

119/1,19=100
✅ 100 €
Aufgabe 7.2.4Schwer
15% Rabatt, 19% MwSt. Zahlung 203,49 €. Original?

Lösung:

203,49/1,19 ≈ 171 → 171/0,85 ≈ 201
✅ ≈ 201 €

7.3 Zinsrechnung

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📚 Zinsrechnung

Zinsen sind der Preis dafür, dass man sich Geld leiht (oder die Belohnung fürs Sparen).

Jahreszinsen: Z = K · p / 100

Tageszinsen: Z = K · p / 100 · t / 360
(Ein Bankjahr hat 360 Tage!)

Zinseszins (Zinsen werden wieder angelegt):
Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ

Beispiel Zinseszins:

1000 € bei 4% für 5 Jahre: K₅ = 1000 · 1,04⁵ ≈ 1216,70 €

Aufgabe 7.3.1Leicht
5000 € bei 3%. Zinsen 1 Jahr?

Lösung:

✅ 150 €
Aufgabe 7.3.2Leicht
3000 € bei 2%. Zinsen?

Lösung:

✅ 60 €
Aufgabe 7.3.3Mittel
2000 €, 180 Tage, 4%?

Lösung:

2000·4/100·180/360=40
✅ 40 €
Aufgabe 7.3.4Schwer
1000 €, 5J, 4% Zinseszins?

Lösung:

1000 · 1,04⁵ ≈ 1216,70
✅ ≈ 1216,70 €

📐 Block 8: Geometrie: Flächen & Körper

8.1 Flächen: Rechteck, Dreieck, Kreis

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📚 Flächen: Rechteck, Dreieck, Kreis

Hier sind die wichtigsten Flächenformeln:

Rechteck:
Fläche: A = a · b  |  Umfang: U = 2a + 2b

Dreieck:
Fläche: A = Grundseite · Höhe / 2

Kreis:
Fläche: A = π · r²  |  Umfang: U = 2 · π · r
(π ≈ 3,14159...)
💡 Merke: Beim Dreieck ist die Höhe immer SENKRECHT zur Grundseite!
Beim Kreis aufpassen: Radius r = halber Durchmesser d!
Aufgabe 8.1.1Leicht
Rechteck 8×5 cm. A?

Lösung:

✅ A = 40 cm²
Aufgabe 8.1.2Leicht
Dreieck g=10, h=6. A?

Lösung:

10·6/2=30
✅ A = 30 cm²
Aufgabe 8.1.3Mittel
Kreis d=10 cm. U und A?

Lösung:

r=5: U≈ 31,4 cm, A≈ 78,5 cm²
✅ U≈ 31,4, A≈ 78,5
Aufgabe 8.1.4Schwer
Gleichsch. Dreieck g=12, Schenkel=10. A?

Lösung:

h=√(100-36)=8 → A=12·8/2=48
✅ 48 cm²

8.2 Körper: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Kugel

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📚 Körper: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Kugel

Für dreidimensionale Körper gibt es Formeln für Volumen (Rauminhalt) und Oberfläche:

Quader: V = a · b · c  |  O = 2(ab + ac + bc)

Würfel: V = a³  |  O = 6a²

Zylinder: V = π · r² · h  |  O = 2πr² + 2πrh

Kegel: V = π · r² · h / 3

Kugel: V = 4/3 · π · r³  |  O = 4 · π · r²
💡 Eselsbrücke: Der Kegel hat genau ein Drittel des Zylindervolumens (bei gleichem r und h)!
Aufgabe 8.2.1Leicht
Quader 5×4×3. V?

Lösung:

✅ V = 60 cm³
Aufgabe 8.2.2Leicht
Würfel a=6. V?

Lösung:

✅ V = 216 cm³
Aufgabe 8.2.3Mittel
Zylinder r=4, h=10. V?

Lösung:

160π≈ 503
✅ ≈ 503 cm³
Aufgabe 8.2.4Schwer
Kugel V=1000 cm³. r?

Lösung:

r³≈ 238,7 → r≈ 6,2
✅ ≈ 6,2 cm
Aufgabe 8.2.5Schwer
Kegel r=3, h=10. V?

Lösung:

30π≈ 94
✅ ≈ 94 cm³

8.3 Einheiten umrechnen

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📚 Einheiten umrechnen

Beim Umrechnen musst du die Umrechnungsfaktoren kennen:

• Länge: 1 m = 100 cm = 1000 mm

• Fläche: 1 m² = 10.000 cm² (= 100 × 100)

• Volumen: 1 m³ = 1.000.000 cm³ (= 100 × 100 × 100)

Wichtig für Flüssigkeiten:
1 Liter = 1 dm³ = 1000 cm³
1 m³ = 1000 Liter
⚠️ Häufiger Fehler: Bei Flächen und Volumen NICHT einfach mit 100 multiplizieren!
Bei m² mit 10.000 (= 100²), bei m³ mit 1.000.000 (= 100³) umrechnen!
Aufgabe 8.3.1Leicht
2,5 m³ = ? Liter

Lösung:

✅ 2500 Liter
Aufgabe 8.3.2Leicht
4,5 m² = ? cm²

Lösung:

✅ 45.000 cm²
Aufgabe 8.3.3Mittel
Aquarium 80×40×50 cm. Liter?

Lösung:

160.000cm³=160L
✅ 160 Liter
Aufgabe 8.3.4Schwer
Becken 25×10×1,8 m bei 90%?

Lösung:

450·0,9=405
✅ 405 m³

📏 Block 9: Dreiecke & Trigonometrie

9.1 Satz des Pythagoras

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📚 Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der berühmte Satz:

a² + b² = c²

a, b = Katheten (die beiden kürzeren Seiten am rechten Winkel)
c = Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)

Anwendungen:

• Hypotenuse berechnen: c = √(a² + b²)

• Kathete berechnen: a = √(c² - b²)

• Prüfen ob rechtwinklig: Wenn a² + b² = c² stimmt → rechtwinklig!

💡 Bekannte pythagoreische Tripel zum Merken:
3-4-5  |  5-12-13  |  6-8-10  |  7-24-25
Aufgabe 9.1.1Leicht
Katheten 3, 4. Hypotenuse?

Lösung:

√(9+16)=5
✅ 5 cm
Aufgabe 9.1.2Leicht
Katheten 6, 8. Hypotenuse?

Lösung:

√100=10
✅ 10 cm
Aufgabe 9.1.3Mittel
Hyp. 13, Kathete 5. Andere?

Lösung:

√(169-25)=12
✅ 12 cm
Aufgabe 9.1.4Mittel
Leiter 5 m, 3 m von Wand. Höhe?

Lösung:

√(25-9)=4
✅ 4 m
Aufgabe 9.1.5Schwer
Ist 7,24,25 rechtwinklig?

Lösung:

49+576=625=25² ✓
✅ Ja!
Aufgabe 9.1.6Schwer
Ist 5,12,13 rechtwinklig?

Lösung:

25+144=169=13² ✓
✅ Ja!

9.2 Sinus, Cosinus, Tangens

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📚 Sinus, Cosinus, Tangens

Die trigonometrischen Funktionen beschreiben Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck:

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

tan(α) = Gegenkathete / Ankathete

Wichtige Werte zum Merken:

• sin(30°) = 0,5  |  cos(30°) ≈ 0,866  |  tan(30°) ≈ 0,577

• sin(45°) ≈ 0,707  |  cos(45°) ≈ 0,707  |  tan(45°) = 1

• sin(60°) ≈ 0,866  |  cos(60°) = 0,5  |  tan(60°) ≈ 1,732

💡 Merksatz: „GAGA HüHü" → Gegenkathete/Hypotenuse (Sin) | Ankathete/Hypotenuse (Cos) | Gegenk./Ankathete (Tan)
Aufgabe 9.2.1Leicht
Hyp.=10, α=30°. Gegenkathete?

Lösung:

10·sin30°=5
✅ 5 cm
Aufgabe 9.2.2Leicht
tan45°=1, Ankathete=12. GK?

Lösung:

✅ 12 cm
Aufgabe 9.2.3Mittel
Katheten 6, 8. Winkel?

Lösung:

tan(α)=0,75→α≈ 36,9°, β≈ 53,1°
✅ 36,9° und 53,1°
Aufgabe 9.2.4Schwer
Turm 50 m entfernt, 35°. Höhe?

Lösung:

50·tan35°≈ 35
✅ ≈ 35 m
Aufgabe 9.2.5Schwer
Leiter 6 m, 60° zum Boden. Höhe?

Lösung:

6·sin60°≈ 5,2
✅ ≈ 5,2 m

9.3 Anwendungen

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📚 Anwendungen der Trigonometrie

Mit Trigonometrie kannst du in der Praxis Höhen, Entfernungen und Winkel berechnen.

• Höhe eines Turms berechnen:

Du kennst die Entfernung und den Blickwinkel → tan(α) = Höhe / Entfernung

• Leiter an einer Wand:

Wie hoch reicht sie? → Satz des Pythagoras oder sin/cos verwenden

• Flugzeug-Aufgaben:

Winkel und Entfernungen aus Flughöhe und Bodenentfernung berechnen

💡 Tipp: Zeichne immer zuerst eine Skizze mit dem rechtwinkligen Dreieck und beschrifte die Seiten!
Aufgabe 9.3.1Leicht
Leiter 5 m, 3 m von Wand. Höhe?

Lösung:

√(25-9)=4
✅ 4 m
Aufgabe 9.3.2Mittel
Flugzeug 3000 m hoch, 5000 m entfernt. Winkel?

Lösung:

tan(α)=0,6→α≈ 31°
✅ ≈ 31°
Aufgabe 9.3.3Schwer
2 Beobachter 100 m, Ballon unter 45° und 60°. Höhe?

Lösung:

x=(100-x)·√3 → x≈ 63,4
✅ ≈ 63,4 m

🎲 Block 10: Daten, Statistik & Wahrscheinlichkeit

10.1 Diagramme lesen und interpretieren

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📚 Diagramme lesen und interpretieren

Verschiedene Diagrammtypen zeigen Daten auf unterschiedliche Weise:

• Balkendiagramm: Gut für Vergleiche zwischen verschiedenen Kategorien

• Kreisdiagramm: Gut für Anteile am Ganzen (alle Teile zusammen = 360° = 100%)

• Liniendiagramm: Gut für zeitliche Verläufe und Entwicklungen

Kreisdiagramm umrechnen:

Anteil in % = Winkel / 360 · 100
Winkel = Anteil in % / 100 · 360°

Beispiel: 90° entspricht 90/360 · 100 = 25%
Aufgabe 10.1.1Leicht
Kreisdiagramm 90°=?%

Lösung:

90/360=0,25
✅ 25%
Aufgabe 10.1.2Mittel
12 Mädchen, 8 Jungen. Kreisdiagramm-Winkel?

Lösung:

M: 216°, J: 144°
✅ 216° und 144°
Aufgabe 10.1.3Schwer
5 Jahre Umsätze: Wie ∅ jährl. Steigerung?

Lösung:

✅ % Steigerung pro Jahr berechnen, Durchschnitt bilden

10.2 Mittelwert, Median und Spannweite

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📚 Mittelwert, Median und Spannweite

Diese drei Kennwerte beschreiben einen Datensatz:

• Mittelwert (Durchschnitt): Alle Werte zusammenzählen und durch die Anzahl teilen

Formel: Mittelwert = Summe aller Werte / Anzahl der Werte

• Median (Zentralwert): Der mittlere Wert, wenn alle Werte der Größe nach sortiert sind

Bei gerader Anzahl: Durchschnitt der beiden mittleren Werte

• Spannweite: Größter Wert minus kleinster Wert (zeigt die Streuung der Daten)

💡 Unterschied Mittelwert vs. Median:
Der Median ist weniger empfindlich gegenüber Ausreißern als der Mittelwert!
Beispiel: Daten 1, 2, 3, 4, 100 → Mittelwert = 22, aber Median = 3
Aufgabe 10.2.1Leicht
Mittelwert: 5,7,8,10

Lösung:

30/4=7,5
✅ 7,5
Aufgabe 10.2.2Leicht
Mittelwert: 4,6,8,10,12

Lösung:

40/5=8
✅ 8
Aufgabe 10.2.3Mittel
Median+Spannweite: 12,5,8,15,3,9,11

Lösung:

Sortiert: 3,5,8,9,11,12,15 → Med=9, Spw=12
✅ Median=9, Spannweite=12
Aufgabe 10.2.4Schwer
Noten 1,2,2,3,3,3,4,4,5. Schüler 5→3. Was ändert sich?

Lösung:

Mittel: 3→2,78. Median bleibt 3
✅ Nur Mittelwert sinkt!

10.3 Boxplots

▼

📚 Boxplots

Ein Boxplot (auch Box-Whisker-Plot) zeigt die Verteilung von Daten auf einen Blick:

• Minimum: Kleinster Wert

• Unteres Quartil (Q1): 25% der Daten liegen darunter

• Median (Q2): 50% der Daten liegen darunter (Mittelwert der sortierten Daten)

• Oberes Quartil (Q3): 75% der Daten liegen darunter

• Maximum: Größter Wert

Die Box: Zeigt die mittleren 50% der Daten (von Q1 bis Q3)

Interquartilsabstand (IQR): Q3 - Q1 (Breite der Box, zeigt Streuung)

💡 Vergleich zweier Boxplots:
Engere Box = homogener (gleichmäßiger verteilt)
Breitere Box = heterogener (größere Unterschiede)
Aufgabe 10.3.1Leicht
Median bei 10. Bedeutung?

Lösung:

✅ 50% ≤10, 50% ≥10
Aufgabe 10.3.2Leicht
Min=5,Q1=10,Med=15,Q3=20,Max=25. Wie viel % in Box?

Lösung:

✅ 50%
Aufgabe 10.3.3Mittel
Daten 1-8. Boxplot-Werte?

Lösung:

Med=4,5 | Q1=2,5 | Q3=6,5
✅ Min=1,Q1=2,5,Med=4,5,Q3=6,5,Max=8
Aufgabe 10.3.4Schwer
Klasse A: Box 4-8(Med=6). B: Box 3-9(Med=7). Vergleich?

Lösung:

A homogener (IQR=4), B besser (Med=7) aber heterogener (IQR=6)
✅ B besser im Schnitt, A gleichmäßiger

10.4 Wahrscheinlichkeit

▼

📚 Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt.

P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse

Wichtige Regeln:

• P = 0 bedeutet: Das Ereignis ist unmöglich

• P = 1 bedeutet: Das Ereignis ist sicher

• P = 0,5 bedeutet: 50-50 Chance (z.B. Münzwurf)

Rechenregeln:

• Oder-Regel: P(A oder B) = P(A) + P(B) (wenn sich A und B ausschließen)

• Und-Regel: P(A und B) = P(A) · P(B) (bei unabhängigen Ereignissen)

Aufgabe 10.4.1Leicht
Würfel: P(6)?

Lösung:

✅ 1/6 ≈ 16,7%
Aufgabe 10.4.2Leicht
Würfel: P(gerade)?

Lösung:

3/6
✅ 1/2 = 50%
Aufgabe 10.4.3Mittel
3 rote, 5 blaue, 2 grüne. P(rot oder grün)?

Lösung:

5/10
✅ 50%
Aufgabe 10.4.4Schwer
Zwei Würfel: P(Summe≥9)?

Lösung:

10 günstige von 36
✅ 10/36 ≈ 27,8%

10.5 Baumdiagramme und Pfadregeln

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📚 Baumdiagramme und Pfadregeln

Ein Baumdiagramm stellt mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich dar.

Die zwei wichtigen Pfadregeln:

• 1. Pfadregel (Produktregel): Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert

Beispiel: P(Kopf UND Kopf) = 0,5 · 0,5 = 0,25

• 2. Pfadregel (Summenregel): Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade zum gleichen Ergebnis werden addiert

Beispiel: P(genau 1× Kopf bei 2 Würfen) = P(KZ) + P(ZK) = 0,25 + 0,25 = 0,50

⚠️ Mit oder ohne Zurücklegen?
Mit Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich (z.B. Würfeln)
Ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten ändern sich! (z.B. Kugeln aus einer Urne ziehen)
Aufgabe 10.5.1Leicht
Münze 2×: P(2× Kopf)?

Lösung:

0,5·0,5=0,25
✅ 25%
Aufgabe 10.5.2Leicht
Münze 3×: P(3× Kopf)?

Lösung:

0,5³=1/8
✅ 12,5%
Aufgabe 10.5.3Mittel
4 weiße, 6 schwarze Socken. 2 ohne Zurücklegen. P(beide weiß)?

Lösung:

4/10·3/9=12/90=2/15
✅ ≈ 13,3%
Aufgabe 10.5.4Mittel
3 rote, 4 blaue, 3 gelbe. 2 ohne Zurücklegen. P(beide rot)?

Lösung:

3/10·2/9=6/90=1/15
✅ ≈ 6,7%
Aufgabe 10.5.5Schwer
4 Fragen, je 3 Antworten. P(≥3 richtig) beim Raten?

Lösung:

P(3)=8/81, P(4)=1/81 → 9/81=1/9
✅ ≈ 11,1%
MSA Mathematik Übungsbuch · 173 Aufgaben · Alle 10 Blöcke mit Unterkategorien